Sciences - Mathématiques (calcul différentiel: Dérivée)

En analyse, le nombre dérivé en un point d'une fonction à variable et valeurs réelles est le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C'est le coefficient directeur de l'approximation affine de cette fonction en ce point. (Ce nombre n'est donc défini que si cette tangente — ou cette approximation — existe.) La dérivée en un point d'une fonction à plusieurs variables réelles, ou à valeurs vectorielles, est plus couramment appelée différentielle de la fonction en ce point, et n'est pas traitée ici.
La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé.
La notion de nombre dérivé a vu le jour au XVII^e siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui le nomme fluxion et qui le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».
La dérivée de la fonction est notée en mathématiques ou . On utilise aussi des notations spécifiques (surtout en physique) pour désigner la dérivée par rapport au temps qui s'écrit avec un point surmontant la lettre (). La dérivée seconde s'écrivant alors grâce à un tréma surmontant la lettre. On utilise dans le même esprit, les notations prime et seconde pour noter la dérivée par rapport à l'espace.
La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation.
En sciences, lorsqu'une grandeur est fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée de la dérivée donne l'accélération. Par exemple, la vitesse instantanée d'un mobile est la valeur à cet instant de la dérivée de sa position par rapport au temps, et son accélération est la valeur à cet instant de la dérivée par rapport au temps, de sa vitesse.
On généralise la notion de dérivée en étendant celle-ci au champs complexe et on parle alors de dérivée complexe
Il existe aussi une définition purement algébrique de la dérivée. On en trouve un exemple dans l'article polynôme formel...Lire la suite