En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l’arithmétique modulaire est un ensemble de méthodes permettant la résolution de problèmes sur les nombres entiers. Ces méthodes dérivent de l’étude du reste obtenu par une division euclidienne.
L'idée de base de l'arithmétique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose. Quand on fait par exemple une preuve par neuf à l'école primaire, on effectue un peu d'arithmétique modulaire sans le savoir : le diviseur est alors la valeur 9.
Si ses origines remontent à l’Antiquité, les historiens associent généralement sa naissance à l’année 1801, date de la publication du livre Disquisitiones arithmeticae1 de Carl Friedrich Gauss. Sa nouvelle approche permet d’élucider de célèbres conjectures2 et simplifie les démonstrations d’importants résultats3 par une plus grande abstraction. Si le domaine naturel de ces méthodes est la théorie des nombres, les conséquences des idées de Gauss se retrouvent dans d’autres champs des mathématiques, comme l’algèbre ou la géométrie.
Le XXe siècle modifie le statut de l’arithmétique modulaire. D’une part, d’autres méthodes sont nécessaires pour progresser en théorie des nombres. D’autre part, le développement de nombreuses applications industrielles impose la mise au point d’algorithmes issus des techniques modulaires. Ils résolvent essentiellement des questions soulevées par la théorie de l’information, une branche maintenant surtout considérée comme appartenant aux mathématiques appliquées.
L’article congruence sur les entiers propose une introduction plus mathématique, anneau Z/nZ traite le même sujet de manière moins didactique et plus exhaustive. Lire la suite
